Equation1

$\textcolor{#caa7ff}{4}$ étant une racine de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$, on peut alors factoriser le polynôme par sa racine. Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall x \in \mathbb{R}
\newline
Q(x) = x^3 - 15x - 4
\newline
= (x - 4)(x^2 + 4x + 1)
}$$

D'où :

$$\textcolor{#caa7ff}{
(E) : Q(x) = 0
\newline \iff
(x - 4)(x^2 + 4x + 1) = 0
}$$

Posons alors l'équation $\textcolor{#caa7ff}{E'}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
(E') : x^2 + 4x + 1 = 0
}$$

Il s'agit ainsi d'une simple équation du second degré dont le discriminant $\textcolor{#caa7ff}{\Delta}$ est :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\Delta = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \gt 0
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{E'}$ a ainsi deux solutions réelles :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x_1 = \frac{-4 + \sqrt{12}}{2}
= \frac{-4 + 2\sqrt{3}}{2}
= \boxed{-2 + \sqrt{3}}
\newline
x_2 = \frac{-4 - \sqrt{12}}{2}
= \frac{-4 - 2\sqrt{3}}{2}
= \boxed{-2 - \sqrt{3}}
}$$

Cependant, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. D'où :

$$\textcolor{#caa7ff}{
(E) : (x - 4)(x^2 + 4x + 1) = 0
\newline \iff
x-4 = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 + 4x + 1 = 0
\newline \iff
x = 4 \quad \text{ou} \quad x=x_1 \quad \text{ou} \quad x=x_2
}$$

Donc, en posant $\textcolor{#caa7ff}{S}$ l'ensemble des solutions de $\textcolor{#caa7ff}{E}$ dans $\textcolor{#caa7ff}{\mathbb{R}}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
S = \bigl\{4 ; \left(-2+\sqrt{3}\right) ; \left(-2-\sqrt{3}\right)\bigr\}
}$$